In Abb. 2.7 ist die Entwicklung der Koeffizienten der
stroboskopischen Abbildung für den van der Pol
-Oszillator über der
Stroboskopierzeit T dargestellt. Wie man deutlich sieht,
ist die Dynamik glatt.
Es ist nun naheliegend, zu versuchen, die Dynamik der Koeffizienten
direkt aus der Differentialgleichung
zu berechnen. In der Tat führt
das Einsetzen eines Polynomansatzes (2.6)
in
(2.2) zu einem analytisch lösbaren
System für die Koeffizienten
[WEHL88].
Figure: Dynamik der Koeffizienten der ersten (links)
und zweiten (rechts) Komponente der stroboskopischen
Abbildung für den van der Pol
-Oszillator (1.1) für 
.
Gezeichnet sind alle Koeffizienten 
der
Polynom-Entwicklung (2.6) mit 
und 
als Funktion von T.
Prinzipiell lassen sich durch die Lösung dieses Differentialgleichung ssystems alle Koeffizienten berechnen, die für eine Approximation der stroboskopischen Abbildung bis zu einer vorgegebenen Genauigkeit notwendig sind. Die Berechnung von Koeffizienten höherer Ordnung ist jedoch sehr mühsam. Es zeigt sich jedoch, daß ausreichend gute Ergebnisse erzielt werden können, wenn man nur bestimmte nichtlineare Koeffizienten berechnet, die sog. wichtigen Moden. Dabei handelt es sich um diejenigen Koeffizienten, deren Indexvektor auch Indexvektor eines Termes im Flußvektorfeld ist. Um eine weitere Genauigkeitssteigerung zu erreichen, kann man anstatt der Berechnung weiterer Koeffizienten auch den Restterm abschätzen, der beim Einsetzen einer Entwicklung der Stroboskop-Abbildung bis inklusive der wichtigen Moden in die Differentialgleichung übrigbleibt [WHMK92].
Die beschriebene Methode ist erweiterbar, um aus partiellen Differentialgleichung en stroboskopische Operatoren analytisch zu ermitteln [REL89,Rüc89].
Abschließende Bemerkung zur Berechnung stroboskopischer Abbildungen
Die Abschnitte 2.2.2 bis 2.2.4 zeigten drei Methoden, die die Berechnung der Koeffizienten von Polynomentwicklungen zulassen. Die entscheidende Annahme, daß die stroboskopische Abbildung sich überhaupt mit einer Potenzreihe mit wenigen nichtverschwindenden Koeffizienten approximieren läßt, wird durch den Erfolg der Methode bei klassischen Testsystemen wie dem Helmholtz- oder dem van der Pol -Oszillator gestützt.
. NORMALZEITTRANSFORMATIONEN