Das Ziel der Normalzeittransformation ist die Ermittlung von Poincaré
-Abbildungen.
Dafür ist es nicht notwendig, daß die Winkelgeschwindigkeit der
Trajektorie immer exakt 
beträgt. Vielmehr genügt es, wenn
die Wiederkehrzeit der Trajektorie zur Poincaré
-Ebene konstant ist.
Diese Freiheit läßt zwei Verbesserungen gegenüber der Formel
(2.22) zu. Zum einen ist es unschön, daß die Skalierungsfunktion
im Ursprung unstetig ist, wenn der Ursprung ein Fixpunkt der Differentialgleichung
ist.
Diese Unstetigkeit kann man beheben
[WEHL89], indem man als
Soll-Winkelgeschwindigkeit 
die Winkelgeschwindigkeit
eines harmonischen, gedämpften Oszillators wählt:
Für Systeme mit einem Fixpunkt am Ursprung (
)
mit stetig partiell differenzierbarem F ergibt sich als passende Wahl
für 
und 
:
Die Poincaré -Abbildung ergibt sich dann als Stroboskop-Abbildung über die Schwingungsdauer des harmonischen, gedämpften Oszillators:
Zum anderen kann man auch auf die exakte Formel für die Skalierungsfunktion
s verzichten und statt dessen einen Näherungsausdruck bis zur 1.Ordnung
verwenden
. Nach einer Integration über 
wird die Trajektorie die Poincaré
-Ebene entweder knapp nicht erreichen oder
etwas darüber hinausschießen. Wenn die Poincaré
-Ebene so gewählt wird, daß
das Trajektorienstück in der Nähe der Poincaré
-Ebene gut durch einen
Kreisbogen approximiert werden kann, läßt sich der entstandene Fehler
aber gut korrigieren. Die Parameter des Krümmungskreises sind
durch die Differentialgleichung gegeben
[BS89, Kap. 4.3.1.2,].
O.B.d.A. soll als Poincaré
-Ebene 
gewählt werden. Der korrigierte
Zustandsvektor 
ergibt sich aus dem Zustandsvektor
, der mit einer genäherten Skalierungsfunktion berechnet wurde,
wie folgt:
Dabei sind 
der Radius und 
die
Mittelpunktskoordinaten des Krümmungskreises:
Die durch die stroboskopische Abbildung gelieferte Werte für
und 
werden ersetzt durch den Schnittpunkt des Krümmungskreises
mit der 
-Achse. Der Korrekturwert für die übrigen Koordinaten
ergibt
sich aus dem Produkt des geschätzten Zeitfehlers 
mit der entsprechenden Komponente des Flußvektors 
.
Diese Methode wurde mit Erfolg beim van der Pol-Oszillator angewendet
[WEHL89] (vgl. Abb. 2.10). Die Approximation von
s durch ein Polynom ermöglicht erstmals die vollanalytische Berechnung
von Poincaré
-Abbildungen, weil man damit zur Ermittlung der Stroboskop-Abbildung
für 
nun das vollanalytische Verfahren aus Abschnitt
2.2.4 verwenden kann. Die analytische Rechnung wird
zweckmäßigerweise mit einem Computer-Algebra-System durchgeführt.
Solche Systeme produzieren typischerweise recht umfangreiche Ausgaben,
weil das Problem des
Auffindens von Vereinfachungen eines Ausdrucks von den betreffenden
Software-Herstellern noch nicht zufriedenstellend gelöst wurde.
Die erhaltene Funktion soll deshalb auch hier nicht wiedergegeben werden.
Sie findet sich aber im Fortran-Code in [Wan89].
