Ebenfalls technisch interessant sind Übersichtskarten, aus denen hervorgeht, welche Anfagsbedingungen welches Verhalten erzeugen.
Für die Iterations-Abbildung, deren Parameterkarte das
sog. Apfelmännchen ergibt, lassen sich für festgelegte Werte
von 
und 
auch Anfangsbedingungs-Landkarten zeichnen.
Diese Mengen der Anfangswerte, für die die Iteration (
)
beschränkt bleibt, für die heißen Julia-Mengen.
Interessanterweise sind die Julia-Mengen genau dann einfach zusammenhängend,
wenn die zugehörigen Parameterwerte innerhalb des Apfelmännchens liegen.
Die Mathematiker Julia und Fatou fanden dieses Resultat
anfang des 20. Jahrhunderts, ohne jemals
ein Apfelmännchen oder eine Julia-Menge grafisch gesehen zu haben!
Anwendungsbezogener ist aber wieder eine Darstellung für den
Helmholtz-Oszillator (Abb. ).
Figure: Einzugsbereich des seltsamen Attraktors beim Helmholtz-Oszillator
(schwarz) für 
und 
.
Die weiß gelassenen Gebiete gehören zum Einzugsbereich
des Attraktors bei 
.