Stroboskopische Abbildungen lassen sich zwar relativ gut berechnen, sind aber nicht die effektivste Methode zur Beschreibung autonomer Systeme ohne feste Eigenfrequenz.
Im folgenden betrachten wir Zustände
, wobei 
das
physikalisch relevante Gebiet des Zustandsraums ist.
Man definiert nun eine Hyperfläche 
, die immer
transversal zu 
steht, für deren Normalenvektor 
also gilt: 
.
Die Schnittpunkte 
der Trajektorien mit 
bilden einen sog. Poincaré
-Schnitt des Systems (Abb. 
).
Wählt man nur Schnittpunkte, bei denen die Trajektorie die Hyperfläche in einer bestimmten Richtung durchstößt, erhält man einen einseitigen Poincaré -Schnitt. Diese Variante wird meistens verwendet.
Die Poincaré -Abbildung
des Systems ist die Dynamik der Punkte des Poincaré -Schnitts, also die Abbildung, die den nächsten Schnittpunkt als Funktion des vorigen angibt. Durch die Wahl der Poincaré -Fläche, also die Festlegung einer Variablen, reduziert sich die Dimension der Abbildung um eins auf m-1.
Bei den meisten Systemen lassen sich zusätzliche Korrelationen zwischen den verbleibenden Variablen angeben. Bei konservativen Systemen oder Teilsystemen geschieht dies über die Ausnutzung der Erhaltungsgrößen. Bei dissipativen Systemen wird das Phasenraumvolumen oft derart stark kontrahiert, daß die Dimension des Attraktors nur unwesentlich über m-1 liegt, die des Poincaré -Schnitts damit nur unwesentlich über m-2. Auf dem Attraktor läßt sich damit in guter Approximation eine weitere Variable eliminieren.
Somit lassen sich auch für chaotische Systeme (deren kontinuierliche
Darstellung ja mindestens dreidimensional sein
muß [GH83, S.44f.,]) eindimensionale
Poincaré-Abbildungen angeben.
Dabei ist das Hauptproblem die Umrechnung der Kontrollparameter
des kontinuierlichen Systems in die Parameter der Abbildung
[EKH
87,WHMK92].
