Kraftübertragung auf kontinuierliche Systeme

Liegt eine stroboskopische Abbildung als Modell des Systems vor, und ergibt sich mit der oben skizzierten Stabilitätsanalyse eine stabile Steuerkraft zu einer gegebenen Wunschdynamik, so kann ein physikalisches System damit rückkopplungsfrei gesteuert werden.

Zusätzlich zu den Ausführungen am praktischen Beispiel in Kapitel 6 soll an dieser Stelle eine für die allgemeine Anwendbarkeit des Verfahrens entscheidende Frage erörtert werden: Wie steuert man kontinuierliche Systeme mit diskreten Kräften?

Zum einen muß --- zumindest bei der Verwendung von Poincaré -Abbildungen --- außer dem Modell f für die Dynamik der noch ein Modell für die Zeitabstände gegeben sein, um die Steuerung im richtigen Moment anbringen zu können.

Zum anderen stellt sich die Frage, wie eine Steuerkraft mit

die nur zu diskreten Zeitpunkten gegeben ist, auf ein kontinuierliches System

angewendet werden kann. Dazu muß man drei Fälle unterscheiden:

1.   Die Dauer der Kraftübertragung ist sehr klein gegenüber der typischen Zeitskala des Systems.
   Dieser Fall ist z.B. gegeben bei dem Problem eines auf einer schweren, vibrierenden Platte hüpfenden Balles [GH83, S.102ff,]. Wenn für die Modellierung und die Steuerung des Systems die gleichen diskreten Zeitpunkte gewählt werden, ist die Steuertheorie aus Abschnitt 5.1 direkt anwendbar.
2.   Statt eines -förmigen Kraftstoßes verwendet man einen rechteckförmigen Kraftverlauf.
   Die -Funktion in (5.7) wird ersetzt durch

   

   Dabei ist dt die Länge des Kraftstoßes. Das Ende der Krafteinwirkung trifft hier mit dem nächsten diskreten Zeitpunkt des Modells zusammen.

3.   Die Dynamik des Systems zwischen zwei diskreten Zeitpunkten ist glatt.
   Bei einer großen Zahl von gedämpften mechanischen Schwingern fallen höhere Fourier-Komponenten rasch ab. Dann läßt sich eine kontinuierliche Approximation der diskreten Dynamik durch glatte Interpolation erhalten. Die Interpolation wird in einigen Fällen durch die Trägheit und die Dämpfung des Systems automatisch bewerkstelligt.