Ermittlung der Winkelgeschwindigkeit einer Trajektorie

   Stroboskopische Abbildungen sind ihrer Natur nach gut geeignet für Systeme, die einen festen Zeittakt besitzen. Dazu gehören sowohl angetriebene Systeme (Helmholtz-, Duffing-Oszillator), als auch Systeme mit konstanter Oszillationsdauer, wie etwa der von Guckenheimer und Holmes [GH83, S.23,] angegebene Oszillator:

Für dieses System läßt sich leicht sowohl eine stroboskopische als auch eine
Poincaré -Abbildung berechnen, indem man (2.15) auf Polarkoordinaten transformiert [SK89]:

Die stroboskopische Abbildung ergibt sich zu:  

Wählen wir als Poincaré -Schnitt bzw. , so ist die Wiederkehrzeit konstant , und die Poincaré -Abbildung lautet:   

Offensichtlich hat (2.19) einen Fixpunkt bei . Dies    entspricht dem Grenzzyklus des zugehörigen kontinuierlichen Systems (2.15). Deutlich sieht man hier den Nutzen der Poincaré -Abbildung: Die komplizierte Analyse eines Grenzzyklus reduziert sich auf die Analyse eines Fixpunkts einer Abbildung.

Das System (2.15) wurde offensichtlich so konstruiert, daß die Winkelgeschwindigkeit der Oszillation um den Ursprung der -Ebene konstant ist. Dies ist untypisch für nichtlineare Systeme. Vielmehr ist die Amplituden-Frequenzkopplung einer der    wesentlichen und typischen Effekte der Nichtlinearität der Differentialgleichung [NM79, S.54,].

Dieser Effekt führt auch dazu, daß stroboskopische Abbildungen für autonome, stark nichtlineare Systeme sich extrem schlecht durch Potenzreihen niedriger Ordnung approximieren lassen. Als Beispiel   diene hierzu ein van der Pol -artiger Oszillator mit kubischer Nichtlinearität:

Numerisch berechnete grafische Darstellungen der stroboskopischen Abbildung von (2.20) (Abb. 2.8) zeigen, daß eine Approximation durch ein Polynom nicht effektiv ist. Die Abbildung beinhaltet Anfangswerte in der Nähe des Ursprungs, wo die Winkelgeschwindigkeit sehr klein ist, und Anfangswerte auf dem Grenzzyklus, wo die Trajektorien schneller vorankommen. Eine Möglichkeit wäre nun, verschiedene getrennte Polynomapproximationen zu versuchen, je eine für die verschiedenen Winkelgeschwindigkeitsbereiche. Da man aber an einer Darstellung einer Abbildung für den gesamten Einschwingvorgang interessiert ist, erscheint es sinnvoller, das Problem der Amplituden-Frequenz-Kopplung an der Wurzel zu packen.

Zunächst läßt sich die Winkelgeschwindigkeit der Oszillation der Trajektorie um den Ursprung in der -Ebene immer berechnen: Wenn der Winkel des Ortsvektors eines Zustands gegenüber der -Achse ist, erhält man durch Differenzieren nach der Zeit:

Dabei sind und die entsprechenden Komponenten der Differentialgleichung (2.2). Mit der Kenntnis der Differentialgleichung ist also sofort die Winkelgeschwindigkeit als analytischer Ausdruck gegeben. Damit läßt sich auch gleich die Annahme, daß die Trajektorien den Ursprung umrunden, überprüfen: In diesem Fall darf an keinem Punkt des physikalisch relevanten Gebiets verschwinden. Bei höherdimensionalen Systemen kann man auf diese Weise zwei Koordinaten und so auswählen, daß die Trajektorien in der Projektion auf diese Ebene den Punkt so umrunden, daß die Bedingung erfüllt wird.