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Fraktale Dimension

  
Figure: Die ersten vier Schritte, die zum Sierpinski-Dreieck führen, einem deterministisches Fraktal

  
Figure: Beispiele für statistische Fraktale

Eine makroskopische Beschreibungsgröße für komplexe räumliche Strukturen ist die sogenannte fraktale Dimension. Ein mathematisches (= deterministisches) Fraktal ist ein geometrisches Objekt, das durch iterative Anwendung einer mathematischen Abbildung entsteht (siehe Abb. gif). Es besitzt die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit. Salopp gesprochen heißt das, daß ein irgendwo herausgeschnittenes Stück nach Vergrößerung genauso aussieht wie das ursprüngliche Fraktal. Es gibt aber auch geometrische Objekte, die nur in einem statistischen Sinne fraktal sind. Dazu können Dendriten gehören. Bei ihnen hat ein herausgeschnittenes und anschließend vergrößertes Stück nur im Mittel dieselbe Auftretenswahrscheinlichkeit wie das Gesamtobjekt (siehe Abbildung gif). Solche Gebilde bezeichnet man als skaleninvariant. Analog zu einem Würfel, dessen Masse mit seiner linearen Ausdehnung in der Potenz seiner Dimension (hier also ) skaliert, läßt sich für selbstähnliche oder skaleninvariante Objekte eine - in der Regel allerdings gebrochenzahlige (=fraktale) - Dimension definieren, die das Massenskalierugsverhalten beschreibt. Bei dem in Abbildung gif gezeigten Objekt kommt man über die entsprechende mathematische Abbildungsvorschrift zu einem Skalierugsverhalten . Bei statistischen Fraktalen bestimmt man die fraktale Dimension durch Bestimmung der Masse für jeweils verschiedene Längenskalen l, beispielsweise mit einem Boxcounting-Algorithmus, bei dem das geometrische Objekt mit einem Raster variierender Kantenlänge belegt wird (siehe Abbildung gif). Es wird dann jeweils gezählt, wieviele Rasterkästchen einen Teil der Figur enthalten, um daraus nach

 

und ,,Anfitten`` der Steigung die fraktale Dimension D zu bestimmen.

 

Es gibt eine Vielzahl teils sehr verschieden definierter fraktaler Dimensionen, für die stellvertretend hier die wohl am einfachsten bestimmbare Boxcounting-Dimension (der Einfachheit halber nur als fraktale Dimension bezeichnet) aufgeführt wird. Mit ihr läßt sich eine experimentell erzeugte dendritische Struktur --- wie sie bespielsweise bei dem eben beschriebenen Kügelchenexperiment erzeugt wird --- nach einer photographischen Aufnahme und anschließendem Einlesen der Positionen in den Computer problemlos geometrisch mit gleichartigen Strukturen vergleichen.

Historisch gesehen entstand der Begriff der fraktalen Dimension im Zusammenhang mit der Frage, wie lange die Küstenlinie Englands sei. Richardson widmete sich diesem Problem und stellte fest, daß die gemessene Länge der Küste (= Länge eines Maßstabs Zahl der angelegten Maßstäbe) immer weiter zunimmt, je kleiner man den Maßstab wählt. Dies ist leicht dadurch zu erklären, daß man mit einem immer kleineren Maßstab immer kleinere Buchten erfassen kann.

  
Figure: Auftragung der Messungen von Küstenlinien aufgrund der Daten, die Richardson vorlagen. Man beachte, daß die negative Steigung der Geraden hier nicht die fraktale Dimension ist, weil auf der Ordinate nicht die Zahl der Maßstäbe, sondern die gemessene Länge aufgetragen ist. Die fraktale Dimension ist genau um 1 höher.



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Werner Eberl
Sat Apr 15 13:17:50 MET DST 1995