Ziele der Modellbildung

Die Ermittlung von guten Modellen für die Dynamik experimenteller Systeme bedeutet einen enormen rechentechnischen Aufwand.  Dieser wird gerechtfertigt durch die Vorteile des Modells gegenüber den reinen Meßdaten, wobei man vor allem fordern muß [Hüb92]:

• Kompaktheit: Das Modell für eine Zeitserie oder eine räumliche Struktur aus N Datenpunkten sollte mit nur wenigen K Parametern () codiert werden können. Beispiel: Modellierung einer periodischen Funktion mit einer Fourier-Reihe
• Vorhersagemöglichkeit: Das Modell sollte die zukünftige Entwicklung des Systems bis zu einer gewissen Genauigkeit voraussagen, auch für benachbarte Werte von Kontrollparametern und Anfangsbedingungen [FS87,CM87,CH87].
• Reproduzierbarkeit: Wiederholungen des Experiments sollten zu den gleichen Modellparametern führen.
• Stetigkeit: Der Zusammenhang zwischen den Kontrollparametern des Systems und den Modellparametern sollte stetig sein, um den Modellparametern eine physikalische Bedeutung zuordnen zu können. Diese Eigenschaft ermöglicht auch die Vorhersage von Systemen, deren Parameter sich langsam verändern.
• Steuerbarkeit: Aus dem Modell sollten sich Steuerkräfte berechnen lassen, die es gestatten, das System rückkopplungsfrei zu einer vorgegebenen Wunschdynamik zu steuern.
• Signifikanz der Modellparameter: Die Vernachlässigung von Parametern, die betragsmäßig kleiner als ihr Fehlerbalken sind, sollte nicht zur Verschlechterung des Modells führen [Hüb89,OHW90].
• Abschätzung verborgener Ordnungsparameter: Bei vielen experimentellen Systemen lassen sich nicht alle Ordnungsparameter beobachten. Das Modell sollte eine Abschätzung dieser Werte liefern können.

Aus diesen Forderungen ergibt sich, daß versucht werden muß, gute niederdimensionale Modelle für die Dynamik eines Systems zu finden. Das gilt auch für Systeme mit vielen Freiheitsgraden, von denen aber die meisten fast vollständig versklavt sind. Den Resteinfluß der vielen versklavten Freiheitsgrade kann man evtl. durch Einführung geeigneter Rauschterme quantifizieren. 

Schließlich hat man sich zwischen kontinuierlichen und diskreten Modellen zu entscheiden. Kontinuierliche Modelle (Differentialgleichung en) lassen sich zwar aus experimentellen Daten rekonstruieren [Kau87], bringen aber ein wesentliches Problem mit sich: Die Untersuchung des Verhaltens des Modells --- und damit der Vergleich zwischen Modell und Experiment --- ist im allgemeinen nur durch numerische Integration möglich. Das bedeutet, daß man sich aus Rechenzeitgründen nur einen schlechten Überblick über die Variation der Dynamik bei Veränderung der Parameter verschaffen kann.

Diesen Nachteil besitzen diskrete Modelle nicht. Sie sind sehr schnell mit Hilfe eines digitalen Computers untersuchbar, weil sich der folgende Systemzustand einfach als Funktion des alten ergibt. Die vollständige, kontinuierliche Dynamik kann man im Bedarfsfall z.B. durch Interpolation zwischen den errechneten Zustandswerten ermitteln.

Für Systeme mit vielen, nicht versklavten Freiheitsgraden bieten die diskreten Modelle vergleichbare Vorteile gegenüber den entsprechenden kontinuierlichen Modellen, den partiellen Differentialgleichung en. Hier wirkt sich der Vorteil sogar noch dramatischer aus, weil die numerischen Lösungsverfahren für nichtlineare, partielle Differentialgleichung en noch wesentlich schlechter entwickelt sind als bei gewöhnlichen Differentialgleichung en .

Abb. 1.1 zeigt eine Übersicht der Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Modellierungsansätzen. Einige der Zusammenhänge werden in dieser Arbeit explizit behandelt.

  
Figure 1.1: Schema zur Beschreibung und Steuerung nichtlinearer Systeme