Seminararbeit "Chaosforschung - eine wissenschaftliche Revolution?" an der FH München
Andrea Knobloch, Sommersemester 1995
Dozent: Werner Eberl
1. Einführung
2. Arten von Rauschen
2.1. Meßrauschen
2.2. Externes Rauschen
2.3. Systemrauschen
3. Maßzahlen für Rauschen
3.1. Verteilung des Rauschens
3.2. Korrelation
4. Schluß
Ein Ziel der Chaosforschung ist es, Gleichungen zu finden, um das Verhalten chaotischer Systeme möglichst genau zu beschreiben. Die exakte Beschreibung ist aber nicht möglich, weil jedes reale System unter nicht vorhersehbaren Einflüssen
Der Ort des Doppelpendels könnte zu jedem Zeitpunkt berechnet werden, aber durch Rauschen weicht das berechnete Verhalten bald vom realen ab. Schon nach kurzer Zeit ist es nicht mehr möglich die Bewegungen des Doppelpendels vorauszusagen.
(Abb. 1)
Es kann zwischen fogenden Arten von Rauschen unterschieden werden:
Es gibt keine Meßinstumente, die wirklich exakt messen. Jeder Meßwert ist mit einem Fehler behaftet. Je besser - und damit teurer - ein Meßinstrument ist, desto kleiner wird zwar der Fehler, aber ganz auszuschließen ist er nie.
Diese Meßfehler verursachen Rauschen, dadurch, daß der gemessene Wert immer von der Wirklichkeit abweicht.
Man kann zwischen systematischen und statistischen Fehlern unterscheiden.
Systematische Fehler beruhen z.B. auf einer Dejustierung des Instuments, sodaß alle Meßwerte um einen konstanten Wert abweichen. Als Beispiel kann man sich ein dejustiertes Nivelliergerät vorstellen, mit welchem alle gemessenen Wer
Der statistische Fehler dagegen ist, wie der Name schon sagt, statistisch verteilt. Die Meßwerte schwanken nach der Normalverteilung um den realen Wert.
Sowohl systematische, wie auch statistische Fehler können aber durch mitteln weitgehend eliminiert werden. Deshalb sind sie für das Rauschen nicht von großer Bedeutung.
(Abb 2.)
Jedes System wird durch St/rungen beeinflußt. Dabei ist es schwer zu beurteilen, ob solche Einflüsse von Außen oder von Innen kommen. Deshalb muß eine Grenze zwischen Umwelt und System gezogen werden. Wo genau diese Grenze verl&a
Die U-Bahn, die unter einem Labor durchfährt und damit einen Versuch stört, gehört sicher nicht zum System. Aber was ist mit der Luftreibung, die den Versuch beeinflußt?
Im Seminar diskutierten wir einmal darüber, ob das Doppelpendel gestört wird, wenn einer der Zuhörer nießt. Wir kamen dabei zu dem Ergebnis, daß ein Nießer das Verhalten des Doppelpendels sehr wohl beeinflussen kann
Deshalb ist auch das Externe Rauschen nicht von wesentlicher Bedeutung f^nr die Voraussage des Verhaltens choatischer Systeme.
Auch wenn man die äußeren Einflüsse von der Untersuchung chaotischer Systeme ausschließen kann, bleibt eine Vielzahl von inneren Faktoren übrig. Sie machen eine Berechnung des Systems unmöglich.
Deshalb wird versucht das System mit Hilfe eines vereinfachten Modells zu beschreiben. Durch Weglassen von Kleinigkeiten, die keinen wesentlichen Einfluß auf das System haben, wird die Anzahl der Freiheitsgrade des Modells verringert und sein
Durch diese Vereinfachung entsteht das Systemrauschen. Diese Art von Rauschen hat die größte Bedeutung für die Voraussage des Verhaltens chaotischer Systeme.
Das Wetter z.B. ist so komplex, daß es nicht berechnet werden kann. Deshalb wird ein vereinfachtes Modell entwickelt, mit dessen Hilfe das Wetter für wenige Tage vorhergesagt werden kann. Aber schon nach kurzer Zeit summieren sich die F
Der deterministische Anteil eines Systems ist der Anteil der vorhergesagt werden kann. Durch Rauschen kommt es zu Abweichungen zwischen Vorhersage und Realität. Dieser Anteil wird stochastischer Anteil oder Rauschterm genannt. Die Differenz zwisch
Beispiel: Es wird für eine bestimmte Zeit eine Lufttemperatur von 21 C berechnt. Um diese Zeit ist die Lufttemperatur aber 19,5 C. Der stochastische Anteil beträgt folglich 1,5 C.
(Abb. 3)
Die Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Rauschwertes an. In der Natur sind die Rauschwerte meist nach der Gauß'schen Glockenkurve verteilt, d.h. Rauschwerte die in der NSigmahe von Null liegen kommen häufiger
(Abb.4)
Die Korrelation gibt die Abhängigkeit des folgenden Rauschwerts vom vorangegangenen an. Dabei wird zwischen folgenden Korrelationen unterschieden:
Beim weißen Rauschen sind die Rauschwerte nicht korreliert, d.h. sie sind nicht voneinander abhängig. Der vorangegangene Wert sagt nichts über den folgenden aus.
Beim rosa Rauschen sind die Werte korreliert. Es ist also wahrscheinlich, daß der folgende Rauschwert in der Nähe des vorangegangenen liegt.
Das blaue Rauschen ist gerade das Gegenteil des rosa Rauschens. Es ist zu erwarten, daß der folgende Wert nicht in der Nähe des vorangegangene liegt.
(Abb 5.)
Rauschen ist von großer Bedeutung für die Wissenschaft, weil fast alle Systeme damit behaftet sind. Dadurch wird die Berechnug von exakten Lösungen unmöglich und nur eine Annäherung an das reale System möglich.
Das Problem Rauschen wird auch in Zukunft nicht gelöst werden können. Es kann lediglich verursacht werden, die Rauschterme auf ein Mindestmaß zu reduzieren.