Die Bäcker-Transformation

Seminararbeit Chaosforschung FH München SS 95

Verfasser: Roland Essl

1. Modellvorstellung des Knetvorgangs
   
2. mathematische Beschreibung
   
3. Sensitivität auf die Anfangsbedingungen
   als Ursache scheinbarer Regellosigkeit
   
4. Vorhersagezeitraum
   
5. Die Bäcker-Transformation
   und die Paradigmen der Chaosforschung
   
6. Simulation als Pascal-Quelltext
   
7. Literatur

1 Modellvorstellung des Knetvorgangs

2 mathematische Beschreibung

  
   x      =   2 x  mod 1
    i+1          i

                0.5 y          f^nr 0 <= x < 0.5      (vordere HSigmalfte)
             /       i                   i
   y      = {
    i+1      \
                0.5 y + 0.5    f^nr 0.5 <= x <= 1      (hintere HSigmalfte)
                     i                     i


   mit 0 <= x <= 1 und 0 <= y <= 1

3 Sensitivität auf die Anfangsbedingungen
als Ursache scheinbarer Regellosigkeit

4 Vorhersagezeitraum

5 Die Bäcker-Transformation
und die Paradigmen der Chaosforschung

• deterministisches Chaos:
  Chaotisches Verhalten tritt trotz exakt festgelegter Regeln auf (s. 3))
  
• beschränkte Vorhersehbarkeit:
  Langfristige Vorhersagen sind aufgrund der beschränkten Kenntnis der An-
  fangsbedingungen (endlich genaue Position der Rosine) nicht möglich (s. 4))
  
• Sensitivität auf Anfangsbedingungen:
  Kleinste Unterschiede in der Anfangsposition der Rosine zeigen bereits nach
  wenigen Knetvorgängen starke Auswirkungen (s. 3))
  
• Strecken und Falten:
  Dieses Prinzip kann durch die stark bildliche Vorstellung der Bäcker-
  Transformation gut veranschaulicht werden. Dem Strecken entspicht dabei
  das Auswalzen des Teiges, wobei die Streckungsrate 2/1 beträgt. Der
  Lyapunov-Exponent (=natürlicher Logorithmus der Streckungsrate) der Bäcker-
  Transformation beträgt demnach ln 2 (s. W.Eberl S.12). Dem Falten ent-
  spricht das Auseinanderschneiden und Aufeinanderlegen.
  

6 Simulation als Pascal-Quelltext

{$E+}{$N+}
program rosine;       {(C) by R.Essl 1995}
uses crt,graph;
const d1: array[1..4] of pointtype =
          ((x:0;y:205),(x:9;y:215),(x:0;y:225),(x:0;y:205));
const d2: array[1..4] of pointtype =
          ((x:429;y:205),(x:419;y:215),(x:429;y:225),(x:429;y:205));
var dr,mo,z:integer;
    xb,yb,xr,yr:extended;
    a:char;
procedure drawrosine(x,y:extended;c:integer);
begin
  setcolor(c);setfillstyle(1,c);   {Umrechnung auf Bildschirmkoord.}
  fillellipse(round((x*399)+15),round(399-(y*399)+15),5,5);
end;
procedure zyklus(c:integer);
var text:string;
begin
  settextstyle(smallfont,horizdir,15);
  str(z,text);setcolor(c);
  outtextxy(450,40,text);
  outtextxy(451,40,text);
  outtextxy(450,41,text);
  outtextxy(451,41,text);
end;

begin
  dr:=9;mo:=2;
  initgraph(dr,mo,'');

  xb:=0.3000000001;yb:=0.2;  {Anfangskoordinaten der beiden Rosinen}
  xr:=0.3;yr:=0.2;

  z:=0;
  repeat
    settextstyle(smallfont,horizdir,15);   {Bildaufbau}
    settextjustify(lefttext,toptext);
    setrgbpalette(0,0,0,0);
    setrgbpalette(1,255,255,255);
    setrgbpalette(2,255,0,0);
    setrgbpalette(3,0,0,255);
    setcolor(1);setfillstyle(1,1);
    bar(0,0,9,419);bar(0,420,419,429);
    bar(420,429,429,10);bar(429,9,10,0);
    setcolor(0);setfillstyle(1,0);
    fillpoly(4,d1);fillpoly(4,d2);
    setcolor(1);
    outtextxy(450,0,'Zyklus:');
    outtextxy(451,0,'Zyklus:');
    outtextxy(450,1,'Zyklus:');
    outtextxy(451,1,'Zyklus:');

    drawrosine(xr,yr,2);drawrosine(xb,yb,3);   {Rosinen auf Startposition}
    zyklus(1);
    a:=readkey;
    while (ord(a)<>27) and (ord(a)<>101) do    {Zyklus}
    begin
      drawrosine(xr,yr,0);drawrosine(xb,yb,0);    {Rosinen löschen}
      zyklus(0);inc(z);
      xb:=2*xb;yb:=yb/2;                          {neue Koordinaten}
      if xb>=1 then begin xb:=xb-1;yb:=0.5+yb;end;
      xr:=2*xr;yr:=yr/2;
      if xr>=1 then begin xr:=xr-1;yr:=0.5+yr;end;
      drawrosine(xr,yr,2);drawrosine(xb,yb,3);    {Rosinen auf neue Koord.}
      zyklus(1);
      a:=readkey;
    end;
    if ord(a)=101 then                 {Eingabe neuer Koordinaten mit 'e'}
    begin
      restorecrtmode;
      clrscr;
      write('xb: ');readln(xb);
      write('yb: ');readln(yb);
      write('xr: ');readln(xr);
      write('yr: ');readln(yr);
      setgraphmode(vgahi);
    end;
  until ord(a)=27;
  closegraph;
end.

7 Literatur