Grundlagen und Methoden
zur
nichtlinearen Dynamik

Skript zur Vorlesung
,,Chaotische Dynamik und Strukturbildung``
an der Fachhochschule München

Werner Eberl
Chaosgruppe e.V. und TU München

ISBN 3-88410-066-1

Verlag Kunst und Alltag
München

• Vorwort
• Contents
• Die Beherrschung nichtlinearer komplexer Systeme --- eine interdisziplinäre Herausforderung
  • Probleme
  • Ansätze
  • Interdisziplinarität
  • Ziele der Chaosforschung
    • Studium nichtlinearer Modelle
    • Ermittlung passender Modelle für real existierende Probleme
    • Aufspüren allgemeiner Prinzipien nichtlinearer Dynamik
    • Spezifizieren sinnvoller Fragestellungen bei komplexen Systemen
    • Klassifikation nichtlinearer Systeme
• Sensitivität auf Anfangsbedingungen
  • Doppelpendel
    • Stichpunkte zum Doppelpendel
  • Pendel über mehreren Magneten
  • Wachstumsdynamik
  • Bäcker-Transformation
  • Lyapunov-Exponent
  • Kausalität
  • Ein Weg ins Chaos: das Bifurkationsszenario
    • Periodenverdopplung bei der logistischen Abbildung
    • Universalität des Periodenverdopplungsszenarios
    • Andere Szenarien zum Übergang ins Chaos
• Modelle für nichtlineare Dynamik
  • Ziele der Modellbildung für dynamische Prozesse
  • Zustandsraumdarstellungen
  • Differentialgleichungen
  • Attraktoren
    • Fixpunkte
    • Grenzzyklen
    • Seltsame Attraktoren
  • Diskrete Abbildungen
    • Die stroboskopische Abbildung
    • Poincaré -Abbildungen
    • Next-Maxima-Abbildungen, Next-Extrema-Abbildungen
    • Zusammenhänge zwischen kontinuierlichen und diskreten Modellen
    • Übersicht über diskrete Abbildungen für dynamische Systeme
  • Rauschen
    • Maßzahlen für Rauschen
      • Verteilung
      • Korrelation (,,Farbe``)
• Ermittlung von Abbildungen aus Zeitreihen
  • Ermittlung geeigneter Qualitätsfunktionen
    • Least-Square-Fit
    • Beispiel zur Modellierung mit Abbildungen
    • Langzeitvorhersagen
  • Verfahren zur nichtlinearen Optimierung
    • Nichtlineare Optimierung als NP-hartes Problem
    • Simulated Annealing
    • Suche des absoluten Minimums oder Maximums eines Polynoms durch algebraische Bisektion
      • Abschätzung einer Ober- und Untergrenze eines Polynoms in einem gegebenen Intervall
    • Komplexität und Rechenzeit
• Neuronale Netze
  • Aufbau eines vorwärtsgekoppelten Netzes
    • Aufgabe des Netzes
  • Trainieren des Netzes durch Backpropagation
  • Prädiktion einer Funktion durch ein neuronales Netz
• Steuerung nichtlinearer Systeme
  • Steuerung diskreter Systeme
  • Beispiel: Steuerung der logistischen Abbildung
  • Nichtlineare Resonanzspektroskopie
    • Beispiel: Resonanzspektroskopie für die logistische Abbildung
• Strukturbildung
  • Beispiel: die Rüttelmaschine
    • Strukturbildung trotz Entropiesatz ?
    • Die Rüttelmaschine als nichtlineares System
  • Beispiel: Leitfähige Teilchen im elektrischen Feld
  • Dendriten
    • Weitere Beispiele für dendritisches Wachstum
• Fraktale
  • Fraktale Dimension
• Bunte Bilder in der Chaosforschung
  • Parameter-Landkarten
  • Anfangsbedingungs-Landkarten
  • Trajektorien
• Zellularautomaten als Modelle für raum-zeitliche Dynamik
  • Zur Modellbildung bei raum-zeitlicher Dynamik
  • Eigenschaften von zellulären Automaten
  • Beispiel: ein Epidemie-Modell
  • Gittergeometrie
  • Asynchronität
  • Modellierung von Erosion mit dem Schulz-Modell
• Mögliche Anwendungen in der Medizin
  • Verständnis aperiodischer Vorgänge
  • Resonante Steuerung
  • Verständnis der Dynamik des Herzens
  • Bewegungsforschung
  • Schallemissionen des Ohres
• Paradigmen der Chaosforschung
  • Deterministisches Chaos
  • Schwache Kausalität: Beschränkte Vorhersehbarkeit
  • Sensitivität auf Anfangsbedingungen
  • Selbstähnlichkeit
  • Selbstverstärkung
  • dynamischer Schlüssel
  • Strecken und Falten
• Chaosforschung --- eine wissenschaftliche Revolution?
  • Die Rolle der Paradigmen in der Wissenschaft
  • Die Wissenschaft als selbstorganisierter Prozeß
  • Wandel in der Chaosforschung
• Chaosforschung und das Internet
  • Zum Wesen der Chaosforschung
  • Kommunikation in der Chaosforschung
  • Was ist das World Wide Web?
    • Die Hypertext-Projekte der Chaosgruppe
    • Meinungen zu den Auswirkungen des WWW
• Definitionen
• Forschungsfeld ,,Nichtlineare Dymamik``
• References
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